CLASS 10 MATHEMATICS PAPER 2024
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टूर्नामेंट नियम और नियम
नियम:
- प्रत्येक प्रश्न के लिए आपको पूर्वनिर्धारित समय सीमा के भीतर उत्तर देना होगा।
- एक बार उत्तर चुनने के बाद, आप इसे बदल नहीं सकते।
- टूर्नामेंट में आपके पास पूर्वनिर्धारित संख्या में प्रयास होंगे।
- उच्चतम स्कोर प्राप्त करने वाले प्रतिभागी विजेता होंगे।
- किसी भी प्रकार की धोखाधड़ी की स्थिति में आपको टूर्नामेंट से अयोग्य घोषित कर दिया जाएगा।
नियम:
- टूर्नामेंट में कुल 2 प्रश्न होंगे।
- प्रत्येक सही उत्तर के लिए आपको 1 अंक मिलेगा।
- कोई नकारात्मक अंकन नहीं होगा।
- टूर्नामेंट समाप्त होने के बाद, परिणामों की घोषणा की जाएगी।
- विजेताओं को पुरस्कार वितरण समारोह में आमंत्रित किया जाएगा।
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यदि P(a/2, 4), बिन्दुओं A(-6, 5) और B(-2, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिन्दु है, तो a का मान क्या होगा?
-8
3
-4
4
0
मध्यबिन्दु सूत्र: x = (x1 + x2)/2. यहाँ x-निर्देशांक a/2 = (-6 + (-2))/2 ⇒ a/2 = -8/2 ⇒ a/2 = -4 ⇒ a = -8.
यदि तीन बिन्दु एकरैखिक (Collinear) हों तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
1
2
0
3
2
यदि तीन बिन्दु संरेख (collinear) होते हैं, तो वे एक ही रेखा पर होते हैं, इसलिए उनसे कोई त्रिभुज नहीं बनता। अतः क्षेत्रफल 0 होता है।
यदि ∆ABC के शीर्षों के निर्देशांक A(-1, 0), B(5, -2) एवं C(8, 2) हों तो उसके केन्द्रक के निर्देशांक होंगे:
(12, 0)
(6, 0)
(0, 6)
(4, 0)
3
केन्द्रक G(x, y) = ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3). x = (-1+5+8)/3 = 12/3 = 4. y = (0-2+2)/3 = 0/3 = 0. निर्देशांक (4, 0).
यदि त्रिभुज ABC में AD, ∠BAC का अर्द्धक है तथा AB = 10 सेमी, AC = 14 सेमी, BC = 6 सेमी तो DC का मान है:
2.5 सेमी
3.5 सेमी
4.5 सेमी
4 सेमी
1
कोण समद्विभाजक प्रमेय से: AB/AC = BD/DC. माना DC = x, तो BD = 6-x. 10/14 = (6-x)/x ⇒ 5/7 = (6-x)/x ⇒ 5x = 42 - 7x ⇒ 12x = 42 ⇒ x = 3.5.
त्रिभुज ABC में DE || BC इस प्रकार है कि AD/DB = 3/5. यदि AC = 5.6 सेमी तो AE = ?
4.2 सेमी
3.1 सेमी
2.8 सेमी
2.1 सेमी
3
थेल्स प्रमेय से, AE/EC = AD/DB = 3/5. अतः AE = (3/(3+5)) × AC = (3/8) × 5.6 = 3 × 0.7 = 2.1 सेमी।
यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 5 : 6 हो तो उनके परिमापों का अनुपात होगा:
25 : 36
5 : 6
36 : 25
15 : 16
1
समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
∆ABC में AB = 6√3 सेमी, AC = 12 सेमी तथा BC = 6 सेमी तो ∠B होगा:
45°
60°
90°
120°
2
AB² + BC² = (6√3)² + 6² = 108 + 36 = 144 = 12² = AC². पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, सबसे बड़ी भुजा (AC) के सामने का कोण 90° होगा।
यदि समबाहु त्रिभुज ABC की एक भुजा 12 सेमी तथा समबाहु त्रिभुज DEF की एक भुजा 6 सेमी हों तो क्षेत्रफल(ABC)/क्षेत्रफल(DEF) = ?
2 : 1
1 : 2
4 : 1
2 : 3
2
दो समरूप (समबाहु) त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। (12/6)² = (2/1)² = 4 : 1.
∆ABC एवं ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं जिसमें AD, शीर्ष A से BC पर लम्ब है तथा PT शीर्ष P से QR पर लम्ब है। यदि AD = 9 सेमी एवं PT = 7 सेमी हो तो त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR के क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:
9 : 7
7 : 9
16 : 25
81 : 49
3
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत शीर्षलम्बों (altitudes) के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। (9/7)² = 81 : 49.
एक समबाहु त्रिभुज की एक भुजा 12 सेमी हो तो इसकी ऊँचाई होगी:
6√2 सेमी
6√3 सेमी
3√6 सेमी
6√6 सेमी
1
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = (√3/2) × भुजा = (√3/2) × 12 = 6√3 सेमी।
किसी वृत्त की दो समांतर स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी 10 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या होगी:
10 सेमी
8 सेमी
5 सेमी
12 सेमी
2
दो समांतर स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी व्यास के बराबर होती है। व्यास = 10 सेमी, अतः त्रिज्या = 10/2 = 5 सेमी।
दो वृत्त यदि बाह्य रूप से परस्पर स्पर्श करते हों तो उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं की संख्या क्या होगी?
1
2
3
4
2
जब दो वृत्त बाह्य स्पर्श करते हैं, तो 2 सीधी और 1 तिर्यक (स्पर्श बिन्दु पर) स्पर्शरेखा होती है। कुल 3.
किसी बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर PA एवं PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। यदि PA = 6 सेमी तो PB = ?
12 सेमी
6 सेमी
8 सेमी
18 सेमी
1
बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती है। PA = PB = 6 सेमी।
यदि 3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों तो प्रत्येक स्पर्शरेखा की लंबाई है:
2√3 सेमी
3√3/2 सेमी
3√3 सेमी
4 सेमी
2
स्पर्श रेखाओं के बीच कोण 60° है, तो केन्द्र पर बना आधा कोण 30° होगा (त्रिभुज OPA में नहीं, बल्कि स्पर्श रेखा और केन्द्र को मिलाने वाली रेखा के साथ कोण 30° होगा)। त्रिभुज OPA में, tan 30° = त्रिज्या/स्पर्शरेखा ⇒ 1/√3 = 3/x ⇒ x = 3√3।
यदि sin(20°+θ) = cos 30° तो θ का मान है:
30°
40°
50°
60°
1
cos 30° = sin 60°। अतः sin(20°+θ) = sin 60° ⇒ 20°+θ = 60° ⇒ θ = 40°।
यदि ∆ABC में ∠C = 90° तो sin(A + B) = ?
0
1
1/2
1/√2
1
चूँकि A+B+C = 180° और C=90°, इसलिए A+B = 90°। sin(90°) = 1।
sec² 23° - tan² 23° + 2 = ?
0
1
2
3
3
सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 से, 1 + 2 = 3।
यदि x cos θ = 1, tan θ = y तो x² - y² का मान है:
2
0
-2
1
3
x = 1/cos θ = sec θ। अतः x² - y² = sec²θ - tan²θ = 1।
यदि tan θ = 3/4 तो sin θ = ?
4/5
2/3
4/3
3/5
3
लम्ब = 3, आधार = 4, तो कर्ण = √(3²+4²) = 5। sin θ = लम्ब/कर्ण = 3/5।
√(1 + cos A) / (1 - cos A) = ?
cosec A - cot A
cosec A + cot A
cosec A . cot A
sin A . tan A
1
हर का परिमेयकरण करने पर: √((1+cos A)² / sin²A) = (1+cos A)/sin A = 1/sin A + cos A/sin A = cosec A + cot A।
tan 5° . tan 25° . tan 30° . tan 65° . tan 85° = ?
1
√3
1/√3
1/2
2
tan 5° . tan 85° = 1 और tan 25° . tan 65° = 1। बचा tan 30° = 1/√3।
cos 38° cos 52° - sin 38° sin 52° = ?
1
0
2
1/2
1
सूत्र cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB से, यह cos(38+52) = cos 90° = 0 है।
(cosec 42° / sec 48°) × (cos 37° / sin 53°) = ?
0
1/2
1
2
2
cosec 42° = sec 48° और cos 37° = sin 53° (पूरक कोण)। अतः (1) × (1) = 1।
यदि tan(α + β) = √3 और tan α = 1/√3 तो tan β का मान है:
1/6
1/7
1/√3
7/6
2
tan(α+β) = tan 60° ⇒ α+β=60°। tan α = tan 30° ⇒ α=30°। तो β = 60-30 = 30°। tan 30° = 1/√3।
√2 (sin π/4 + cos π/4) = ?
√2
2
1
1/2
1
π/4 = 45°। sin 45 = cos 45 = 1/√2। √2 (1/√2 + 1/√2) = √2 (2/√2) = 2।
यदि a cos θ + b sin θ = 4 तथा a sin θ - b cos θ = 3 तो a² + b² का मान है:
7
16
25
36
2
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25।
दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात x² : y² है तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात होगा:
x² : y²
√x : √y
y : x
x : y
3
क्षेत्रफल ∝ त्रिज्या²। अतः त्रिज्या ∝ √क्षेत्रफल। √(x²):√(y²) = x:y।
किसी वृत्त का क्षेत्रफल 49π वर्ग सेमी है तो उसका व्यास होगा:
7 सेमी
14 सेमी
49 सेमी
21 सेमी
1
πr² = 49π ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7। व्यास = 2r = 14 सेमी।
5 चक्करों में 14 सेमी त्रिज्या के पहिया के द्वारा तय की गई दूरी है:
400 सेमी
440 सेमी
288 सेमी
388 सेमी
1
एक चक्कर में दूरी = परिधि = 2πr = 2 × (22/7) × 14 = 88 सेमी। 5 चक्कर = 5 × 88 = 440 सेमी।
एक वृत्त का क्षेत्रफल एवं एक वर्ग का क्षेत्रफल बराबर है तो उनकी परिमितियों का अनुपात होगा:
1 : 1
2 : π
π : 2
√π : 2
3
πr² = a² ⇒ a = r√π। परिमाप अनुपात = 2πr / 4a = 2πr / 4r√π = π / 2√π = √π : 2।
यदि p(x) = x⁴ - 5x + 6 एवं q(x) = 2 - x² हो तो p(x)/q(x) का घात होगा:
2
4
1
3
0
p(x) का घात 4 है, q(x) का घात 2 है। भाग देने पर घात घट जाती है: 4 - 2 = 2।
निम्नलिखित में कौन द्विघात समीकरण है?
x² - 3√x + 2 = 0
x + 1/x = x²
x² + 1/x² = 5
2x² - 5x = (x-1)²
3
विकल्प (D) को हल करने पर: 2x² - 5x = x² - 2x + 1 ⇒ x² - 3x - 1 = 0, जो कि द्विघात है। अन्य विकल्पों में घात पूर्णांक नहीं है या 2 से अधिक है।
यदि द्विघात समीकरण x² + 2kx + 4 = 0 का एक मूल 2 है तो k का मान होगा:
-1
-2
2
-4
1
x = 2 रखने पर: (2)² + 2k(2) + 4 = 0 ⇒ 4 + 4k + 4 = 0 ⇒ 4k = -8 ⇒ k = -2।
यदि (x+3), ax² + x + 1 का एक गुणनखंड हो तो a का मान होगा:
3
9/2
2/9
9
2
x = -3 रखने पर शून्य होना चाहिए: a(-3)² + (-3) + 1 = 0 ⇒ 9a - 2 = 0 ⇒ a = 2/9।
p के किस मान के लिए द्विघात समीकरण px² - 2x + 3 = 0 के मूल वास्तविक एवं समान होंगे?
1
1/3
3
1/2
1
विविक्तकर D = 0 होना चाहिए। b² - 4ac = 0 ⇒ (-2)² - 4(p)(3) = 0 ⇒ 4 - 12p = 0 ⇒ 12p = 4 ⇒ p = 1/3।
द्विघात समीकरण 6x² - 3x + 5 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या होगी?
वास्तविक एवं असमान
वास्तविक एवं समान
वास्तविक नहीं
इनमें से कोई नहीं
2
D = b² - 4ac = (-3)² - 4(6)(5) = 9 - 120 = -111। D < 0, अतः मूल वास्तविक नहीं हैं।
यदि द्विघात समीकरण x² + x - 20 = 0 का एक मूल 4 हो तो इसका दूसरा मूल होगा:
5
-4
-5
3
2
गुणनखंड: (x+5)(x-4) = 0। मूल x = 4 और x = -5। दूसरा मूल -5 है।
यदि द्विघात समीकरण x² + 6x + 5 = 0 के मूल α एवं β हों तो α² + β² का मान होगा:
30
16
26
20
2
α+β = -6, αβ = 5। α² + β² = (α+β)² - 2αβ = (-6)² - 2(5) = 36 - 10 = 26।
द्विघात समीकरण px² - qx + r = 0, p≠0 के मूल हैं:
(q ± √(q² - 4pr)) / 2p
(q ± √(q² + 4pr)) / 2p
(-q ± √(q² - 4pr)) / 2p
(-q ± √(q² + 4pr)) / 2p
0
द्विघाती सूत्र: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a। यहाँ a=p, b=-q, c=r है। अतः x = (q ± √(q² - 4pr)) / 2p।
यदि x = -1 दोनों समीकरणों 2x² + 3x + p = 0 और qx² - qx + 4 = 0 का एक उभयनिष्ठ मूल हो तो p + q का मान होगा:
1
-1
2
-2
1
x=-1 रखने पर: 2(-1)²+3(-1)+p=0 ⇒ 2-3+p=0 ⇒ p=1। q(-1)²-q(-1)+4=0 ⇒ q+q+4=0 ⇒ 2q=-4 ⇒ q=-2। p+q = 1-2 = -1।
एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई क्रमशः 15 मी, 6 मी एवं 5 मी हो तो घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा:
200 मी²
210 मी²
250 मी²
220 मी²
1
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2h(l + b) = 2×5(15 + 6) = 10(21) = 210 मी²।
8 सेमी भुजा वाले घन में से 4 सेमी भुजा वाले कितने घन बनाए जा सकते हैं?
4
8
12
16
1
संख्या = (बड़े घन का आयतन) / (छोटे घन का आयतन) = (8³) / (4³) = (8/4)³ = 2³ = 8।
धातु के तीन घन जिनके किनारे क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी तथा 5 सेमी हैं, को पिघलाकर एक घन बनाया गया। नये बने घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
72 सेमी²
144 सेमी²
128 सेमी²
256 सेमी²
1
कुल आयतन = 3³ + 4³ + 5³ = 27 + 64 + 125 = 216। नए घन की भुजा a = ∛216 = 6। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a² = 4(36) = 144 सेमी²।
दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 और उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 5 : 3 है तो उनके आयतनों का अनुपात है:
27 : 20
20 : 27
4 : 9
9 : 40
1
आयतन ∝ r²h। (2²×5) : (3²×3) = (4×5) : (9×3) = 20 : 27।
यदि बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल 1760 सेमी² हो तथा इसकी आधार की त्रिज्या 14 सेमी हो तो इसकी ऊँचाई होगी:
10 सेमी
15 सेमी
20 सेमी
40 सेमी
2
2πrh = 1760 ⇒ 2(22/7)(14)h = 1760 ⇒ 88h = 1760 ⇒ h = 20।
एक धातु के पाइप की बाह्य त्रिज्या 4 सेमी और आंतरिक त्रिज्या 3 सेमी है। यदि इसकी लंबाई 10 सेमी हो तो धातु का आयतन होगा:
120 सेमी³
220 सेमी³
440 सेमी³
1540 सेमी³
1
आयतन = π(R² - r²)h = (22/7)(4² - 3²)(10) = (22/7)(7)(10) = 220 सेमी³।
यदि किसी शंकु के आधार की त्रिज्या r एवं इसकी तिर्यक ऊँचाई l हो, तो शंकु का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल होगा:
3 πrl
πrl
1/3 πrl
2 πrl
1
शंकु का वक्र पृष्ठ का सूत्र πrl होता है।
14 सेमी व्यास वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा:
147 π सेमी²
198 π सेमी²
488 π सेमी²
396 π सेमी²
0
त्रिज्या r = 7। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr² = 3π(7²) = 3π(49) = 147π सेमी²।
एक शंकु का आयतन 1570 सेमी³ है। यदि इसके आधार का क्षेत्रफल 314 सेमी² है, तो इसकी ऊँचाई है:
10 सेमी
15 सेमी
18 सेमी
20 सेमी
1
आयतन = (1/3) × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई। 1570 = (1/3) × 314 × h ⇒ h = (1570 × 3) / 314 = 5 × 3 = 15 सेमी।
यदि एक गोला की त्रिज्या 2r है तो इसका आयतन होगा:
32πr³/3
16πr³/3
8πr³/3
64πr³/3
0
गोले का आयतन = (4/3)π(त्रिज्या)³ = (4/3)π(2r)³ = (4/3)π(8r³) = 32πr³/3।
समांतर श्रेढ़ी -3, -1/2, 2, ... का 11वाँ पद क्या होगा?
28
22
-38
-48
1
a = -3, d = -1/2 - (-3) = 2.5। a11 = a + 10d = -3 + 10(2.5) = -3 + 25 = 22।
समांतर श्रेढ़ी 41, 38, 35, ..., 8 में पदों की संख्या है:
12
14
10
15
0
a=41, d=-3, an=8। 8 = 41 + (n-1)(-3) ⇒ -33 = -3(n-1) ⇒ n-1=11 ⇒ n=12।
समांतर श्रेढ़ी 2, 4, 6, 8, ... के प्रथम 50 पदों का योगफल होगा:
2500
2550
2005
2000
1
यह सम संख्याओं की श्रृंखला है। योग = n(n+1) = 50(51) = 2550।
बिन्दु (2√7, -3) किस चतुर्थांश में है?
प्रथम
द्वितीय
तृतीय
चतुर्थ
3
x धनात्मक है और y ऋणात्मक है (+, -), जो कि चतुर्थ चतुर्थांश में होता है।
बिन्दुओं (2 cos θ, 0) तथा (0, 2 sin θ) के बीच की दूरी है:
1
2
3
4
1
दूरी = √((2cos θ - 0)² + (0 - 2sin θ)²) = √(4cos²θ + 4sin²θ) = √(4(1)) = 2।
सरल रेखाएँ x = -2 तथा y = 3 का कटान बिन्दु है:
(-2, 3)
(2, -3)
(3, -2)
(-3, 2)
0
x का मान -2 और y का मान 3 है, इसलिए निर्देशांक (-2, 3) होंगे।
बिन्दुओं (7, -4) एवं (-5, 1) के बीच की दूरी है:
12
13
11
5
1
दूरी = √((-5-7)² + (1-(-4))²) = √((-12)² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13।
y-अक्ष पर वह बिन्दु जो बिन्दुएँ (5, -2) एवं (-3, 2) से समदूरस्थ हो, है:
(0, 3)
(-2, 0)
(0, -2)
(2, 2)
2
बिन्दु P(0, y) माना। P से दूरी बराबर करने पर: 5² + (-2-y)² = (-3)² + (2-y)² ⇒ 25 + 4+4y+y² = 9 + 4-4y+y² ⇒ 29 + 4y = 13 - 4y ⇒ 8y = -16 ⇒ y = -2।
PQRS एक आयत है, जिसके शीर्ष P(0,0), Q(6,0), R(6,2) एवं S(0,2) हैं तो आयत का क्षेत्रफल होगा:
6
8
16
12
3
लंबाई PQ = 6, चौड़ाई PS = 2। क्षेत्रफल = 6 × 2 = 12।
यदि A(a,0), B(0,0) एवं C(0,b) किसी ∆ABC के शीर्ष हैं तो ∆ABC का क्षेत्रफल होगा:
ab
1/2 ab
1/2 a²b²
1/2 b²
1
यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार a और लम्ब b है। क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × लम्ब = 1/2 ab।
निम्नलिखित में कौन बहुपद नहीं है?
x² + √5
9x² - 4x + √2
1/2 x³ + ...
x + 3/x
3
x + 3/x में x की घात ऋणात्मक (-1) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है।
बहुपद (x⁵ + x² + 3x)(x⁶ + x⁵ + x² + 1) का घात है:
5
6
11
10
2
गुणा करने पर अधिकतम घातों का योग होता है: 5 + 6 = 11।
बहुपद x² - 11 के शून्यक हैं:
11, -11
11, -√11
√11, -√11
√11, -11
2
x² - 11 = 0 ⇒ x² = 11 ⇒ x = ±√11। (नोट: सही उत्तर विकल्प (D) के स्थान पर छपा है या C/D में से एक है जो √11, -√11 दिखाता है।)
यदि -2 एवं -3 द्विघात बहुपद x² + (a+1)x + b के शून्यक हैं तो:
a=-2, b=6
a=2, b=-6
a=-2, b=-6
a=4, b=6
3
शून्यकों का योग = -5 = -(a+1) ⇒ a+1=5 ⇒ a=4। गुणनफल = 6 = b।
यदि बहुपद x² - 9x + a के शून्यकों का गुणनफल 8 है तो a का मान होगा:
9
-9
8
-8
2
शून्यकों का गुणनफल = c/a (यहाँ अचर पद/x² का गुणांक) = a/1 = 8 ⇒ a = 8।
निम्नलिखित में किस द्विघात बहुपद के शून्यक 4 एवं -2 हैं?
x² - 2x - 8
x² + 2x - 8
x² - 2x + 8
x² + 2x + 8
0
योग = 2, गुणनफल = -8। समीकरण: x² - (योग)x + गुणनफल = x² - 2x - 8।
यदि बहुपद p(x) = x² + 3x - 4 के शून्यक α एवं β हों तो αβ/4 का मान होगा:
-1
1
4
-4
0
αβ = c/a = -4/1 = -4। अतः αβ/4 = -4/4 = -1।
यदि बहुपद q(x) का एक शून्यक -3 हो तो q(x) का एक गुणनखंड होगा:
x - 3
x + 3
1/(x-3)
1/(x+3)
1
यदि x = a शून्यक है, तो (x - a) गुणनखंड होता है। यहाँ (x - (-3)) = x + 3 गुणनखंड होगा।
यदि f(x) = x⁴ - 2x³ - x + 2 को g(x) = x² - 3x + 2 से भाग दिया जाता है तो भागफल का घात होगा:
4
2
3
1
1
भाज्य का घात 4 है, भाजक का घात 2 है। भागफल का घात = 4 - 2 = 2।
यदि बहुपद x² - 3(x+1) - 5 के शून्यक α एवं β हों तो (α+1)(β+1) का मान होगा:
3
-3
-4
4
2
समीकरण: x² - 3x - 8। α+β=3, αβ=-8। (α+1)(β+1) = αβ + α + β + 1 = -8 + 3 + 1 = -4।
प्रथम दस विषम संख्याओं का माध्य है:
100
10
50
20
1
प्रथम n विषम संख्याओं का योग n² होता है। माध्य = n²/n = n। यहाँ n=10 है।
15, 6, 16, 8, 22, 21, 9, 18, 25 की माध्यिका है:
16
15
21
8
0
आरोही क्रम: 6, 8, 9, 15, 16, 18, 21, 22, 25। कुल 9 पद। माध्यिका = 5वाँ पद = 16।
0, 6, 5, 1, 6, 4, 3, 0, 2, 6, 5, 6 का बहुलक है:
5
6
2
3
1
6 सबसे अधिक बार (4 बार) आया है।
एक बारम्बारता बंटन के माध्यिका एवं बहुलक क्रमशः 48.64 एवं 46.52 हैं तो इसका माध्य होगा:
49.70
49
50
इनमें से कोई नहीं
0
सूत्र: बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)। 46.52 = 3(48.64) - 2(माध्य) ⇒ 2(माध्य) = 145.92 - 46.52 = 99.40 ⇒ माध्य = 49.70।
यदि पाँच प्रेक्षणों x, x+2, x+4, x+6 एवं x+8 का माध्य 11 हो तो x का मान होगा:
5
6
7
8
2
माध्य = (5x + 20) / 5 = x + 4। x + 4 = 11 ⇒ x = 7।
एक असंभव घटना की प्रायिकता क्या होगी?
1/2
0
1
1 से ज्यादा
1
असंभव घटना घटित नहीं हो सकती, इसलिए प्रायिकता 0 होती है।
यदि P(E) = 0.4 तो P(E') का मान है:
0.96
0.6
1
0.06
1
P(E') = 1 - P(E) = 1 - 0.4 = 0.6।
दो पासों की फेंक में संभव परिणामों की संख्या है:
12
20
36
6
2
एक पासे में 6 परिणाम। दो पासों में 6 × 6 = 36 परिणाम।
निम्नलिखित में कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?
0.6
1.5
75%
2/5
1
प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच होता है। 1.5 एक से बड़ा है, इसलिए यह प्रायिकता नहीं हो सकती।
एक पासे की एक फेंक में विषम संख्या नहीं आने की प्रायिकता क्या है?
0
1/2
1/3
1
1
विषम नहीं आना मतलब सम आना (2, 4, 6)। अनुकूल परिणाम 3, कुल 6। प्रायिकता = 3/6 = 1/2।
यदि 2a + 3b = 8 एवं 3a - 4b = -5 हो तो:
a = 1, b = 2
a = 2, b = 1
a = -1, b = 2
a = 2, b = -2
0
विकल्प (A) की जाँच: 2(1)+3(2)=8 (सही), 3(1)-4(2)=-5 (सही)।
रैखिक समीकरण युग्म 2x - 3y = 8 एवं 4x - 6y = 9 हैं:
संगत
असंगत
आश्रित
इनमें से कोई नहीं
1
a1/a2 = 2/4 = 1/2, b1/b2 = -3/-6 = 1/2, c1/c2 = 8/9। a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2। यह समांतर रेखाओं को दर्शाता है, जिनका कोई हल नहीं है (असंगत)।
समीकरण 2x + 3y = 4 एवं 4x + 6y = 12 के आलेख किस प्रकार की सरल रेखाएँ होंगी?
संपाती सरल रेखाएँ
समांतर सरल रेखाएँ
प्रतिच्छेदी सरल रेखाएँ
इनमें से कोई नहीं
1
अनुपात 1/2 = 1/2 ≠ 4/12 (1/3)। अतः रेखाएँ समांतर हैं।
समीकरण निकाय 2x - 3y + 1 = 0 तथा 3x + y + 2 = 0 के कितने हल हैं?
एक और केवल एक हल
कोई हल नहीं
अनगिनत हल
इनमें से कोई नहीं
0
2/3 ≠ -3/1। अद्वितीय हल।
k के किस मान के लिए समीकरण निकाय x + 2y = 3 तथा 5x + ky = 15 के अनंत हल हैं?
5
10
6
12
1
1/5 = 2/k = 3/15। 1/5 = 2/k ⇒ k = 10।
निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी है?
0.3, 0.33, 0.333...
1, 11, 111...
2, 4, 8, 16...
0, -4, -8, -12...
3
विकल्प (D) में सार्व अंतर समान (-4) है।
p के किस मान के लिए पद (2p+1), 13, (5p-3) समांतर श्रेढ़ी में है?
3
4
12
6
1
2(13) = (2p+1) + (5p-3) ⇒ 26 = 7p - 2 ⇒ 28 = 7p ⇒ p = 4।
यदि an समांतर श्रेढ़ी 3, 8, 13, 18, ... का n वाँ पद है तो a25 - a10 का मान क्या होगा?
50
75
40
55
1
d = 5। a25 - a10 = 15d = 15 × 5 = 75।
समांतर श्रेढ़ी का दूसरा पद 13 है तथा इसका 5 वाँ पद 25 है तो श्रेढ़ी का सार्व अंतर होगा:
5
4
3
6
1
a+d=13, a+4d=25। घटाने पर: 3d=12 ⇒ d=4।
यदि समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग (5n - n²) है तो समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर होगा:
4
-2
2
6
1
S1 = 4 (a1), S2 = 10 - 4 = 6। a2 = S2 - S1 = 2। d = a2 - a1 = 2 - 4 = -2।
√(64/81) + √(16/9) है:
परिमेय संख्या
अपरिमेय संख्या
पूर्णांक संख्या
प्राकृत संख्या
0
8/9 + 4/3 = (8+12)/9 = 20/9। यह एक परिमेय संख्या है।
दो अपरिमेय संख्याओं 3+√6 तथा 3-√5 का गुणनफल होगा एक:
परिमेय संख्या
अपरिमेय संख्या
पूर्णांक संख्या
प्राकृत संख्या
1
चूँकि पद 3+√6 और 3-√5 अलग-अलग हैं (संयुग्मी नहीं), इनका गुणनफल अपरिमेय ही रहेगा।
(0.3 बार + 0.4 बार) का सरलतम रूप है:
7/10
7/9
7/11
7/99
1
3/9 + 4/9 = 7/9।
यदि 156 = 2^x × 3^y × 13^z हो तो x + y + z =:
4
5
3
6
0
156 = 2² × 3¹ × 13¹। x=2, y=1, z=1। योग = 4।
√10 × √15 है:
परिमेय संख्या
अपरिमेय संख्या
पूर्णांक संख्या
प्राकृत संख्या
1
√150 = 5√6। √6 अपरिमेय है, अतः यह अपरिमेय संख्या है।
p / (2^n × 5^m) के रूप में 0.105 को लिखा जा सकता है:
21 / (2² × 5²)
21 / (2³ × 5³)
21 / (2³ × 5²)
21 / (2 × 5³)
2
0.105 = 105/1000 = 21/200 = 21 / (8 × 25) = 21 / (2³ × 5²)।
यदि दो संख्याओं का म०स० = 25 और ल०स० = 50 है तो संख्याओं का गुणनफल होगा:
1250
1150
1350
1050
0
संख्याओं का गुणनफल = म०स० × ल०स० = 25 × 50 = 1250।
यदि भाग एल्गोरिथ्म a = bq + r में b = 61, q = 27 तथा r = 32 हो तो a का मान क्या होगा?
1679
1600
1669
1696
0
a = 61 × 27 + 32 = 1647 + 32 = 1679।
यदि q एक धनात्मक पूर्णांक है तो निम्नलिखित में से कौन धनात्मक विषम पूर्णांक है?
6q + 1
6q + 2
6q + 4
6q + 6
0
6q सम है, इसलिए 6q + 1 विषम होगा। अन्य सभी सम हैं।
दो लगातार विषम संख्याओं का म०स० होता है:
0
1
2
3
1
दो लगातार विषम संख्याओं (जैसे 3, 5) में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, अतः म०स० 1 होता है।
\u0935\u093E\u0939! \u0906\u092A\u0928\u0947 \u0915\u092E\u093E\u0932 \u0915\u0930 \u0926\u093F\u092F\u093E!
\u092C\u0939\u0941\u0924 \u092C\u0922\u093C\u093F\u092F\u093E! \u0925\u094B\u0921\u093C\u093E \u0914\u0930 \u092E\u0947\u0939\u0928\u0924 \u0906\u092A\u0915\u094B \u0938\u0930\u094D\u0935\u0936\u094D\u0920 \u092C\u0928\u093E \u0938\u0915\u0924\u093E \u0939\u0948!
\u092C\u0939\u0941\u0924 \u0916\u093C\u0930\u093E\u092C \u092A\u0930\u092B\u0949\u0930\u092E\u0947\u0902\u0938! \u0925\u094B\u0921\u093C\u093E \u0914\u0930 \u091F\u094D\u0930\u093E\u0908 \u0915\u0930\u094B!
\u0915\u094B\u0908 \u092C\u093E\u0924 \u0928\u0939\u0940\u0902! \u0926\u094B\u092C\u093E\u0930\u093E \u0915\u094B\u0936\u093F\u0936 \u0915\u0930\u094B \uD83D\uDE0A
\u0938\u093E\u092E\u093E\u0928\u094D\u092F \u091C\u094D\u091E\u093E\u0928 \u0914\u0930 \u0917\u0923\u093F\u0924 \u0915\u094D\u0935\u093F\u091C\u093C
\u092A\u093F\u091B\u0932\u093E
\u0905\u0917\u0932\u093E
\u0938\u092E\u093E\u092A\u094D\u0924
\u092A\u094D\u0930\u0936\u094D\u0928
\u0938\u0939\u0940 \u0909\u0924\u094D\u0924\u0930
\u0917\u0932\u0924 \u0909\u0924\u094D\u0924\u0930
\u0938\u092E\u092F \u0932\u0917\u093E
\u0909\u0924\u094D\u0924\u0930 \u0938\u092E\u0940\u0915\u094D\u0937\u093E \u0926\u0947\u0916\u0947\u0902
\u0938\u092E\u0940\u0915\u094D\u0937\u093E \u091B\u093F\u092A\u093E\u090F\u0902
\u0909\u0924\u094D\u0924\u0930 \u0938\u092E\u0940\u0915\u094D\u0937\u093E \u0938\u0942\u091A\u0940
\u092A\u094D\u0930\u092E\u093E\u0923 \u092A\u0924\u094D\u0930 \u0926\u0947\u0916\u0947\u0902
\u092A\u0941\u0928\u0903 \u0936\u0941\u0930\u0942 \u0915\u0930\u0947\u0902
\u0915\u094D\u0935\u093F\u091C\u093C \u092A\u0942\u0930\u094D\u0923!
\u092A\u094D\u0930\u092E\u093E\u0923 \u092A\u0924\u094D\u0930
\u0938\u092B\u0932\u0924\u093E\u092A\u0942\u0930\u094D\u0935\u0915 \u092A\u0942\u0930\u094D\u0923 \u0915\u0930\u0928\u0947 \u0915\u0947 \u0932\u093F\u090F
\u0938\u0924\u094D\u092F\u093E\u092A\u093F\u0924 \u092A\u094D\u0930\u092E\u093E\u0923 \u092A\u0924\u094D\u0930
\u0938\u094D\u0915\u094B\u0930
\u0915\u0941\u0932 \u092A\u094D\u0930\u0936\u094D\u0928
\u0938\u0939\u0940 \u0909\u0924\u094D\u0924\u0930
\u0932\u093F\u092F\u093E \u0917\u092F\u093E \u0938\u092E\u092F
\u092A\u0930\u093F\u0923\u093E\u092E \u092A\u0930 \u0935\u093E\u092A\u0938 \u091C\u093E\u090F\u0902
\u0938\u0939\u0940!
\u0917\u0932\u0924!
\u0906\u092A\u0915\u093E \u0909\u0924\u094D\u0924\u0930:
\u0909\u0924\u094D\u0924\u0930 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0926\u093F\u092F\u093E \u0917\u092F\u093E
\u0938\u0939\u0940 \u0909\u0924\u094D\u0924\u0930:
\u0938\u094D\u092A\u0937\u094D\u091F\u0940\u0915\u0930\u0923:
\u0906\u092A\u0915\u093E \u0909\u0924\u094D\u0924\u0930 \u0917\u0932\u0924 \u0925\u093E\u0964 \u0938\u0939\u0940 \u0909\u0924\u094D\u0924\u0930:
\u092A\u094D\u0930\u0936\u094D\u0928
/
\u0905\u0938\u092B\u0932 (FAIL)
\u0909\u0924\u094D\u0924\u0940\u0930\u094D\u0923 (PASS)
\u0936\u094D\u0930\u0947\u0937\u094D\u0920 (TOP)
\u0938\u0930\u094D\u0935\u0936\u094D\u0930\u0947\u0937\u094D\u0920 (TOPPER)
✓ \u0938\u0924\u094D\u092F\u093E\u092A\u093F\u0924
\u0917\u094D\u0930\u0947\u0921\u093F\u0902\u0917 \u092E\u093E\u0928\u0926\u0902\u0921
\u0938\u0930\u094D\u0935\u0936\u094D\u0930\u0947\u0937\u094D\u0920 (TOPPER)
\u0936\u094D\u0930\u0947\u0937\u094D\u0920 (TOP)
\u0938\u092B\u0932 (PASS)
\u0905\u0938\u092B\u0932 (FAIL)